1、函数 我们知道圆的面积计算公式为： S = πr2 当我们知道半径r的值时，就可以根据公式计算出面积。假设我们需要计算3个不同大小的圆的面积： r1 = 12.34 r2 = 9.08 r3 = 73.1 s1 = 3.14 * r1 * r1 s2 = 3.14 * r2 * r2 s3 = 3.14 * r3 * r3 当代码出现有规律的重复的时候，你就需要当心了，每次写3.14 * x * x不仅很麻烦，而且，如果要把3.14改成3.14159265359的时候，得全部替换。 有了函数，我们就不再每次写s = 3.14 * x * x，而是写成更有意义的函数调用s = area_of_circle(x)，而函数area_of_circle本身只需要写一次，就可以多次调用。 基本上所有的高级语言都支持函数，Python也不例外。Python不但能非常灵活地定义函数，而且本身内置了很多有用的函数，可以直接调用。 抽象 抽象是数学中非常常见的概念。举个例子： 计算数列的和，比如：1 + 2 + 3 + ... + 100，写起来十分不方便，于是数学家发明了求和符号∑，可以把1 + 2 + 3 + ... + 100记作： 100 ∑n n=1 这种抽象记法非常强大，因为我们看到 ∑ 就可以理解成求和，而不是还原成低级的加法运算。 而且，这种抽象记法是可扩展的，比如： 100 ∑(n2+1) n=1 还原成加法运算就变成了： (1 x 1 + 1) + (2 x 2 + 1) + (3 x 3 + 1) + ... + (100 x 100 + 1) 可见，借助抽象，我们才能不关心底层的具体计算过程，而直接在更高的层次上思考问题。 写计算机程序也是一样，函数就是最基本的一种代码抽象的方式。 2、调用函数 Python内置了很多有用的函数，我们可以直接调用。 要调用一个函数，需要知道函数的名称和参数，比如求绝对值的函数abs，只有一个参数。可以直接从Python的官方网站查看文档： #abs 也可以在交互式命令行通过help(abs)查看abs函数的帮助信息。 调用abs函数： >>> abs(100) 100 >>> abs(-20) 20 >>> abs(12.34) 12.34 调用函数的时候，如果传入的参数数量不对，会报TypeError的错误，并且Python会明确地告诉你：abs()有且仅有1个参数，但给出了两个： >>> abs(1, 2) Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> TypeError: abs() takes exactly one argument (2 given) 如果传入的参数数量是对的，但参数类型不能被函数所接受，也会报TypeError的错误，并且给出错误信息：str是错误的参数类型： >>> abs('a') Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> TypeError: bad operand type for abs(): 'str' 而max函数max()可以接收任意多个参数，并返回最大的那个： >>> max(1, 2) 2 >>> max(2, 3, 1, -5) 3 数据类型转换 Python内置的常用函数还包括数据类型转换函数，比如int()函数可以把其他数据类型转换为整数： >>> int('123') 123 >>> int(12.34) 12 >>> float('12.34') 12.34 >>> str(1.23) '1.23' >>> str(100) '100' >>> bool(1) True >>> bool('') False 函数名其实就是指向一个函数对象的引用，完全可以把函数名赋给一个变量，相当于给这个函数起了一个“别名”： >>> a = abs # 变量a指向abs函数 >>> a(-1) # 所以也可以通过a调用abs函数 1 小结 调用Python的函数，需要根据函数定义，传入正确的参数。如果函数调用出错，一定要学会看错误信息，所以英文很重要！ 3、定义函数 在Python中，定义一个函数要使用def语句，依次写出函数名、括号、括号中的参数和冒号:，然后，在缩进块中编写函数体，函数的返回值用return语句返回。 我们以自定义一个求绝对值的my_abs函数为例： def my_abs(x): if x >= 0: return x else: return -x 请自行测试并调用my_abs看看返回结果是否正确。 请注意，函数体内部的语句在执行时，一旦执行到return时，函数就执行完毕，并将结果返回。因此，函数内部通过条件判断和循环可以实现非常复杂的逻辑。 如果没有return语句，函数执行完毕后也会返回结果，只是结果为None。 return None可以简写为return。 在Python交互环境中定义函数时，注意Python会出现...的提示。函数定义结束后需要按两次回车重新回到>>>提示符下： 空函数 如果想定义一个什么事也不做的空函数，可以用pass语句： def nop(): pass pass语句什么都不做，那有什么用？实际上pass可以用来作为占位符，比如现在还没想好怎么写函数的代码，就可以先放一个pass，让代码能运行起来。 pass还可以用在其他语句里，比如： if age >= 18: pass 缺少了pass，代码运行就会有语法错误。 参数检查 调用函数时，如果参数个数不对，Python解释器会自动检查出来，并抛出TypeError： >>> my_abs(1, 2) Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> TypeError: my_abs() takes 1 positional argument but 2 were given 但是如果参数类型不对，Python解释器就无法帮我们检查。试试my_abs和内置函数abs的差别： >>> my_abs('A') Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> File "<stdin>", line 2, in my_abs TypeError: unorderable types: str() >= int() >>> abs('A') Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> TypeError: bad operand type for abs(): 'str' 当传入了不恰当的参数时，内置函数abs会检查出参数错误，而我们定义的my_abs没有参数检查，会导致if语句出错，出错信息和abs不一样。所以，这个函数定义不够完善。 让我们修改一下my_abs的定义，对参数类型做检查，只允许整数和浮点数类型的参数。数据类型检查可以用内置函数isinstance()实现： def my_abs(x): if not isinstance(x, (int, float)): raise TypeError('bad operand type') if x >= 0: return x else: return -x 添加了参数检查后，如果传入错误的参数类型，函数就可以抛出一个错误： >>> my_abs('A') Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> File "<stdin>", line 3, in my_abs TypeError: bad operand type 错误和异常处理将在后续讲到。 返回多个值 函数可以返回多个值吗？答案是肯定的。 比如在游戏中经常需要从一个点移动到另一个点，给出坐标、位移和角度，就可以计算出新的新的坐标： import math def move(x, y, step, angle=0): nx = x + step * math.cos(angle) ny = y - step * math.sin(angle) return nx, ny import math语句表示导入math包，并允许后续代码引用math包里的sin、cos等函数。 然后，我们就可以同时获得返回值： >>> x, y = move(100, 100, 60, math.pi / 6) >>> print(x, y) 151.96152422706632 70.0 但其实这只是一种假象，Python函数返回的仍然是单一值： >>> r = move(100, 100, 60, math.pi / 6) >>> print(r) (151.96152422706632, 70.0) 原来返回值是一个tuple！但是，在语法上，返回一个tuple可以省略括号，而多个变量可以同时接收一个tuple，按位置赋给对应的值，所以，Python的函数返回多值其实就是返回一个tuple，但写起来更方便。 小结 定义函数时，需要确定函数名和参数个数； 如果有必要，可以先对参数的数据类型做检查； 函数体内部可以用return随时返回函数结果； 函数执行完毕也没有return语句时，自动return None。 函数可以同时返回多个值，但其实就是一个tuple。 4、函数的参数 定义函数的时候，我们把参数的名字和位置确定下来，函数的接口定义就完成了。对于函数的调用者来说，只需要知道如何传递正确的参数，以及函数将返回什么样的值就够了，函数内部的复杂逻辑被封装起来，调用者无需了解。 Python的函数定义非常简单，但灵活度却非常大。除了正常定义的必选参数外，还可以使用默认参数、可变参数和关键字参数，使得函数定义出来的接口，不但能处理复杂的参数，还可以简化调用者的代码。 位置参数 我们先写一个计算x2的函数： def power(x): return x * x 对于power(x)函数，参数x就是一个位置参数。 当我们调用power函数时，必须传入有且仅有的一个参数x： >>> power(5) 25 >>> power(15) 225 现在，如果我们要计算x3怎么办？可以再定义一个power3函数，但是如果要计算x4、x5……怎么办？我们不可能定义无限多个函数。 你也许想到了，可以把power(x)修改为power(x, n)，用来计算xn，说干就干： def power(x, n): s = 1 while n > 0: n = n - 1 s = s * x return s 对于这个修改后的power(x, n)函数，可以计算任意n次方： >>> power(5, 2) 25 >>> power(5, 3) 125 修改后的power(x, n)函数有两个参数：x和n，这两个参数都是位置参数，调用函数时，传入的两个值按照位置顺序依次赋给参数x和n。 默认参数 新的power(x, n)函数定义没有问题，但是，旧的调用代码失败了，原因是我们增加了一个参数，导致旧的代码因为缺少一个参数而无法正常调用： >>> power(5) Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> TypeError: power() missing 1 required positional argument: 'n' Python的错误信息很明确：调用函数power()缺少了一个位置参数n。 这个时候，默认参数就排上用场了。由于我们经常计算x2，所以，完全可以把第二个参数n的默认值设定为2： def power(x, n=2): s = 1 while n > 0: n = n - 1 s = s * x return s 这样，当我们调用power(5)时，相当于调用power(5, 2)： >>> power(5) 25 >>> power(5, 2) 25 而对于n > 2的其他情况，就必须明确地传入n，比如power(5, 3)。 从上面的例子可以看出，默认参数可以简化函数的调用。设置默认参数时，有几点要注意： 一是必选参数在前，默认参数在后，否则Python的解释器会报错（思考一下为什么默认参数不能放在必选参数前面）； 二是如何设置默认参数。 当函数有多个参数时，把变化大的参数放前面，变化小的参数放后面。变化小的参数就可以作为默认参数。 使用默认参数有什么好处？最大的好处是能降低调用函数的难度。 举个例子，我们写个一年级小学生注册的函数，需要传入name和gender两个参数： def enroll(name, gender): print('name:', name) print('gender:', gender) 这样，调用enroll()函数只需要传入两个参数： >>> enroll('Sarah', 'F') name: Sarah gender: F 如果要继续传入年龄、城市等信息怎么办？这样会使得调用函数的复杂度大大增加。 我们可以把年龄和城市设为默认参数： def enroll(name, gender, age=6, city='Beijing'): print('name:', name) print('gender:', gender) print('age:', age) print('city:', city) 这样，大多数学生注册时不需要提供年龄和城市，只提供必须的两个参数： >>> enroll('Sarah', 'F') name: Sarah gender: F age: 6 city: Beijing 只有与默认参数不符的学生才需要提供额外的信息： enroll('Bob', 'M', 7) enroll('Adam', 'M', city='Tianjin') 可见，默认参数降低了函数调用的难度，而一旦需要更复杂的调用时，又可以传递更多的参数来实现。无论是简单调用还是复杂调用，函数只需要定义一个。 有多个默认参数时，调用的时候，既可以按顺序提供默认参数，比如调用enroll('Bob', 'M', 7)，意思是，除了name，gender这两个参数外，最后1个参数应用在参数age上，city参数由于没有提供，仍然使用默认值。 也可以不按顺序提供部分默认参数。当不按顺序提供部分默认参数时，需要把参数名写上。比如调用enroll('Adam', 'M', city='Tianjin')，意思是，city参数用传进去的值，其他默认参数继续使用默认值。 默认参数很有用，但使用不当，也会掉坑里。默认参数有个最大的坑，演示如下： 先定义一个函数，传入一个list，添加一个END再返回： def add_end(L=[]): L.append('END') return L 当你正常调用时，结果似乎不错： >>> add_end([1, 2, 3]) [1, 2, 3, 'END'] >>> add_end(['x', 'y', 'z']) ['x', 'y', 'z', 'END'] 当你使用默认参数调用时，一开始结果也是对的： >>> add_end() ['END'] 但是，再次调用add_end()时，结果就不对了： >>> add_end() ['END', 'END'] >>> add_end() ['END', 'END', 'END'] 很多初学者很疑惑，默认参数是[]，但是函数似乎每次都“记住了”上次添加了'END'后的list。 原因解释如下： Python函数在定义的时候，默认参数L的值就被计算出来了，即[]，因为默认参数L也是一个变量，它指向对象[]，每次调用该函数，如果改变了L的内容，则下次调用时，默认参数的内容就变了，不再是函数定义时的[]了。 所以，定义默认参数要牢记一点：默认参数必须指向不变对象！ 要修改上面的例子，我们可以用None这个不变对象来实现： def add_end(L=None): if L is None: L = [] L.append('END') return L 现在，无论调用多少次，都不会有问题： >>> add_end() ['END'] >>> add_end() ['END'] 为什么要设计str、None这样的不变对象呢？因为不变对象一旦创建，对象内部的数据就不能修改，这样就减少了由于修改数据导致的错误。此外，由于对象不变，多任务环境下同时读取对象不需要加锁，同时读一点问题都没有。我们在编写程序时，如果可以设计一个不变对象，那就尽量设计成不变对象。 可变参数 在Python函数中，还可以定义可变参数。顾名思义，可变参数就是传入的参数个数是可变的，可以是1个、2个到任意个，还可以是0个。 我们以数学题为例子，给定一组数字a，b，c……，请计算a2 + b2 + c2 + ……。 要定义出这个函数，我们必须确定输入的参数。由于参数个数不确定，我们首先想到可以把a，b，c……作为一个list或tuple传进来，这样，函数可以定义如下： def calc(numbers): sum = 0 for n in numbers: sum = sum + n * n return sum 但是调用的时候，需要先组装出一个list或tuple： >>> calc([1, 2, 3]) 14 >>> calc((1, 3, 5, 7)) 84 如果利用可变参数，调用函数的方式可以简化成这样： >>> calc(1, 2, 3) 14 >>> calc(1, 3, 5, 7) 84 所以，我们把函数的参数改为可变参数： def calc(*numbers): sum = 0 for n in numbers: sum = sum + n * n return sum 定义可变参数和定义一个list或tuple参数相比，仅仅在参数前面加了一个*号。在函数内部，参数numbers接收到的是一个tuple，因此，函数代码完全不变。但是，调用该函数时，可以传入任意个参数，包括0个参数： >>> calc(1, 2) 5 >>> calc() 0 如果已经有一个list或者tuple，要调用一个可变参数怎么办？可以这样做： >>> nums = [1, 2, 3] >>> calc(nums[0], nums[1], nums[2]) 14 这种写法当然是可行的，问题是太繁琐，所以Python允许你在list或tuple前面加一个*号，把list或tuple的元素变成可变参数传进去： >>> nums = [1, 2, 3] >>> calc(*nums) 14 *nums表示把nums这个list的所有元素作为可变参数传进去。这种写法相当有用，而且很常见。 关键字参数 可变参数允许你传入0个或任意个参数，这些可变参数在函数调用时自动组装为一个tuple。而关键字参数允许你传入0个或任意个含参数名的参数，这些关键字参数在函数内部自动组装为一个dict。请看示例： def person(name, age, **kw): print('name:', name, 'age:', age, 'other:', kw) 函数person除了必选参数name和age外，还接受关键字参数kw。在调用该函数时，可以只传入必选参数： >>> person('Michael', 30) name: Michael age: 30 other: {} 也可以传入任意个数的关键字参数： >>> person('Bob', 35, city='Beijing') name: Bob age: 35 other: {'city': 'Beijing'} >>> person('Adam', 45, gender='M', job='Engineer') name: Adam age: 45 other: {'gender': 'M', 'job': 'Engineer'} 关键字参数有什么用？它可以扩展函数的功能。比如，在person函数里，我们保证能接收到name和age这两个参数，但是，如果调用者愿意提供更多的参数，我们也能收到。试想你正在做一个用户注册的功能，除了用户名和年龄是必填项外，其他都是可选项，利用关键字参数来定义这个函数就能满足注册的需求。 和可变参数类似，也可以先组装出一个dict，然后，把该dict转换为关键字参数传进去： >>> extra = {'city': 'Beijing', 'job': 'Engineer'} >>> person('Jack', 24, city=extra['city'], job=extra['job']) name: Jack age: 24 other: {'city': 'Beijing', 'job': 'Engineer'} 当然，上面复杂的调用可以用简化的写法： >>> extra = {'city': 'Beijing', 'job': 'Engineer'} >>> person('Jack', 24, **extra) name: Jack age: 24 other: {'city': 'Beijing', 'job': 'Engineer'} **extra表示把extra这个dict的所有key-value用关键字参数传入到函数的**kw参数，kw将获得一个dict，注意kw获得的dict是extra的一份拷贝，对kw的改动不会影响到函数外的extra。 命名关键字参数 对于关键字参数，函数的调用者可以传入任意不受限制的关键字参数。至于到底传入了哪些，就需要在函数内部通过kw检查。 仍以person()函数为例，我们希望检查是否有city和job参数： def person(name, age, **kw): if 'city' in kw: # 有city参数 pass if 'job' in kw: # 有job参数 pass print('name:', name, 'age:', age, 'other:', kw) 但是调用者仍可以传入不受限制的关键字参数： >>> person('Jack', 24, city='Beijing', addr='Chaoyang', zipcode=123456) 如果要限制关键字参数的名字，就可以用命名关键字参数，例如，只接收city和job作为关键字参数。这种方式定义的函数如下： def person(name, age, *, city, job): print(name, age, city, job) 和关键字参数**kw不同，命名关键字参数需要一个特殊分隔符*，*后面的参数被视为命名关键字参数。 调用方式如下： >>> person('Jack', 24, city='Beijing', job='Engineer') Jack 24 Beijing Engineer 如果函数定义中已经有了一个可变参数，后面跟着的命名关键字参数就不再需要一个特殊分隔符*了： def person(name, age, *args, city, job): print(name, age, args, city, job) 命名关键字参数必须传入参数名，这和位置参数不同。如果没有传入参数名，调用将报错： >>> person('Jack', 24, 'Beijing', 'Engineer') Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> TypeError: person() takes 2 positional arguments but 4 were given 由于调用时缺少参数名city和job，Python解释器把这4个参数均视为位置参数，但person()函数仅接受2个位置参数。 命名关键字参数可以有缺省值，从而简化调用： def person(name, age, *, city='Beijing', job): print(name, age, city, job) 由于命名关键字参数city具有默认值，调用时，可不传入city参数： >>> person('Jack', 24, job='Engineer') Jack 24 Beijing Engineer 使用命名关键字参数时，要特别注意，如果没有可变参数，就必须加一个*作为特殊分隔符。如果缺少*，Python解释器将无法识别位置参数和命名关键字参数： def person(name, age, city, job): # 缺少 *，city和job被视为位置参数 pass 参数组合 在Python中定义函数，可以用必选参数、默认参数、可变参数、关键字参数和命名关键字参数，这5种参数都可以组合使用。但是请注意，参数定义的顺序必须是：必选参数、默认参数、可变参数、命名关键字参数和关键字参数。 比如定义一个函数，包含上述若干种参数： def f1(a, b, c=0, *args, **kw): print('a =', a, 'b =', b, 'c =', c, 'args =', args, 'kw =', kw) def f2(a, b, c=0, *, d, **kw): print('a =', a, 'b =', b, 'c =', c, 'd =', d, 'kw =', kw) 在函数调用的时候，Python解释器自动按照参数位置和参数名把对应的参数传进去。 >>> f1(1, 2) a = 1 b = 2 c = 0 args = () kw = {} >>> f1(1, 2, c=3) a = 1 b = 2 c = 3 args = () kw = {} >>> f1(1, 2, 3, 'a', 'b') a = 1 b = 2 c = 3 args = ('a', 'b') kw = {} >>> f1(1, 2, 3, 'a', 'b', x=99) a = 1 b = 2 c = 3 args = ('a', 'b') kw = {'x': 99} >>> f2(1, 2, d=99, ext=None) a = 1 b = 2 c = 0 d = 99 kw = {'ext': None} 最神奇的是通过一个tuple和dict，你也可以调用上述函数： >>> args = (1, 2, 3, 4) >>> kw = {'d': 99, 'x': '#'} >>> f1(*args, **kw) a = 1 b = 2 c = 3 args = (4,) kw = {'d': 99, 'x': '#'} >>> args = (1, 2, 3) >>> kw = {'d': 88, 'x': '#'} >>> f2(*args, **kw) a = 1 b = 2 c = 3 d = 88 kw = {'x': '#'} 所以，对于任意函数，都可以通过类似func(*args, **kw)的形式调用它，无论它的参数是如何定义的。 小结 Python的函数具有非常灵活的参数形态，既可以实现简单的调用，又可以传入非常复杂的参数。 默认参数一定要用不可变对象，如果是可变对象，程序运行时会有逻辑错误！ 要注意定义可变参数和关键字参数的语法： *args是可变参数，args接收的是一个tuple； **kw是关键字参数，kw接收的是一个dict。 以及调用函数时如何传入可变参数和关键字参数的语法： 可变参数既可以直接传入：func(1, 2, 3)，又可以先组装list或tuple，再通过*args传入：func(*(1, 2, 3))； 关键字参数既可以直接传入：func(a=1, b=2)，又可以先组装dict，再通过**kw传入：func(**{'a': 1, 'b': 2})。 使用*args和**kw是Python的习惯写法，当然也可以用其他参数名，但最好使用习惯用法。 命名的关键字参数是为了限制调用者可以传入的参数名，同时可以提供默认值。 定义命名的关键字参数在没有可变参数的情况下不要忘了写分隔符*，否则定义的将是位置参数。 5、递归函数 在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。 举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数fact(n)表示，可以看出： fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n 所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。 于是，fact(n)用递归的方式写出来就是： def fact(n): if n==1: return 1 return n * fact(n - 1) 上面就是一个递归函数。可以试试： >>> fact(1) 1 >>> fact(5) 120 >>> fact(100) 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下： ===> fact(5) ===> 5 * fact(4) ===> 5 * (4 * fact(3)) ===> 5 * (4 * (3 * fact(2))) ===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1)))) ===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1))) ===> 5 * (4 * (3 * 2)) ===> 5 * (4 * 6) ===> 5 * 24 ===> 120 递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。 使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试fact(1000)： >>> fact(1000) Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> File "<stdin>", line 4, in fact ... File "<stdin>", line 4, in fact RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison 解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。 尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。 上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中： def fact(n): return fact_iter(n, 1) def fact_iter(num, product): if num == 1: return product return fact_iter(num - 1, num * product) 可以看到，return fact_iter(num - 1, num * product)仅返回递归函数本身，num - 1和num * product在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。 fact(5)对应的fact_iter(5, 1)的调用如下： ===> fact_iter(5, 1) ===> fact_iter(4, 5) ===> fact_iter(3, 20) ===> fact_iter(2, 60) ===> fact_iter(1, 120) ===> 120 尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。 遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。 小结 使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。 针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。 Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。